本文介绍音阶，主要是推导如何系统地分类各种音阶。
构成一个音阶有几个要素：
- 主音（tonic）：即音阶的起点音，决定了音阶的调（key）；
- 相邻音的排列方式：音阶是从主音开始，按照一定的间隔排列方式，向上推演得到的。
主音决定绝对音高，排列方式决定色彩、和声功能（相对音高）。以下不讨论主音（可以都假设主音为 C），而讨论有哪些排列方式。
音阶一般要保证周期性，周期通常是一个八度，以下均作此假设（违反此假设的只有极其现代的自由爵士等类型的音乐）。按照十二平均律，一个八度之间有 12 个最小间隔（半音），所以音阶相当于把 12 拆成一些小间隔的和，根据拆解的方式不同得到各种音阶。根据排列组合知识，可以看成插隔板问题——在 12 棵树之间插入 \(n-1\) 块隔板有多少组合方式，\(n\) 音音阶就有多少个。计算公式为：
- 五音音阶有 \(C_{11}^4=330\) 个；
- 六音音阶有 \(C_{11}^5=462\) 个；
- 七音音阶有 \(C_{11}^6=462\) 个；
- 八音音阶有 \(C_{11}^7=330\) 个；
- 九音音阶有 \(C_{11}^8=165\) 个；
- 十二音音阶有 \(C_{11}^{11}=1\) 个。
在众多的音阶中，有的比较常见，有名有姓，也有背后适用的音乐风格与故事；有的则不常见。有名有姓的音阶请参考：https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_musical_scales_and_modes。以下我讨论的是如何系统地来分类这些音阶，每个类中往往既有常见的音阶，也有不常见的；有的类常见的音阶多，有的类少。
五音以上的音阶
排列方式的限制条件
受此视频启发，我们对排列方式加如下几条限制：
- 间隔只包含 1（半音，H），2（全音，W），3（全音加半音，WH），3 以上跨度太大不考虑；
- 一些均匀性限制（为了使音阶好听）：
- 两个 H 不相邻；
- W, WH 不相邻；
- WH, WH 不相邻。
注意第一个音和最后一个音也算相邻，是循环意义上的相邻。
可以证明，这样得到的音阶都是七音或六音的。接下来，可以将符合条件的七音或六音音阶按照一套方法（见下一节：调式）划分为几个族。以下每节介绍按照族来介绍：七音音阶共 4 个族，还有 2 族六音音阶和 1 族八音音阶。本章最后面证明列举了符合上述条件的所有情况。
自然大调族
自然大调的排列方式是 W-W-H-W-W-W-H，由此可以轮换衍生出 7 个不同的音阶，称为调式（mode），指通过轮换得到的一族音阶。调式的英文也很直观，就是数论中的模。这个排列方式循环周期是 7，自然大调音阶作为代表元。
以下每一族音阶不仅列出惯用名称与相邻音的排列方式，也列出 C 调音阶、 A 调音阶（前者全列，后者只对偏小调的列）与黑键少的常用的调的音阶。
| 调式 | 惯用名 | 相邻音的排列方式 | Ionian | Aeolian | 黑键最少的调 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 自然大调，Ionian 调式 | W-W-H-W-W-W-H | - | #3, #6, #7 | C |
| 2 | Dorian 调式 | W-H-W-W-W-H-W | b3,b7 | #6 | D |
| 3 | Phrygian 调式 | H-W-W-W-H-W-W | b2,b3,b6,b7 | b2 | E |
| 4 | Lydian 调式 | W-W-W-H-W-W-H | #4 | #3, #4, #6, #7 | F |
| 5 | Mixolydian 调式 | W-W-H-W-W-H-W | b7 | #3, #6 | G |
| 6 | 自然小调, Aeolian 调式 | W-H-W-W-H-W-W | b3,b6,b7 | - | A |
| 7 | Locrian 调式 | H-W-W-H-W-W-W | b2,b3,b5,b6,b7 | b2, b5 | B |
尽量烂熟于心，才能灵活掌握下面的。
可以发现，C 调 Ionian、D 调 Dorian、E 调 Phrygian …等音阶虽然音是一样的（白键），但主音不同，因此色彩不一样。因此对于音阶来说，主音也是很重要的。
旋律小调族
旋律大调的排列方式循环周期是 7，衍生出以下 7 个音阶。
旋律小调与自然大调只差一个 3 音，因此衍生出的 7 个音阶与上表对应位置的音阶也只差某个音。
| 调式 | 惯用名 | 相邻音的排列方式 | Ionian | Aeolian | 变音少的调式 | 备注 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 旋律小调 | W-H-W-W-W-W-H | b3 | #6, #7 | Ionian b3, Aeolian #6 #7 | |
| 2 | H-W-W-W-W-H-W | b2,b3,b7 | b2, #4 | Dorian b2, Phrygian #6 | ||
| 3 | 增 Lydian 音阶 | W-W-W-W-H-W-H | #4,#5 | #3, #4, #5, #6, #7 | Lydian #5 | 注意，起点变成了 b3 而不是 3 |
| 4 | 泛音阶，原声音阶 | W-W-W-H-W-H-W | #4, b7 | #3, #4, #6 | Lydian b7 | |
| 5 | 旋律大调 | W-W-H-W-H-W-W | b6, b7 | #3 | Ionian b6 b7, Aeolian #3, Mixolydian b6 | |
| 6 | 半减音阶 | W-H-W-H-W-W-W | b3, b5, b6, b7 | b3 | Aeolian b3, Locrian #2 | 叫半减音阶原因是主音七和弦为半减七和弦 |
| 7 | 变形（Altered）音阶，超级 Locrian 音阶 | H-W-H-W-W-W-W | b2,b3,b4(3),b5,b6,b7 | b2,b4,b5 | Locrian b4 | 叫超级 Locrian 是 因为 Locrian 把自然大调降了5个音，而它把 6 个音全降了 |
和声小调族
和声小调的排列方式循环周期是 7，衍生出以下 7 个音阶。
| 调式 | 惯用名 | 相邻音的排列方式 | Ionian | Aeolian | 变音少的调式 | 备注 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 自然增大调 | W-W-H-WH-H-W-H | #5 | #3, #5, #6, #7 | Ionian #5 | ||
| 2 | W-H-WH-H-W-H-W | 1-2-b3-#4-5-6-7-1 | #4, #6 | Dorian #4 | |||
| 3 | 大 Phrygian 音阶 | H-WH-H-W-H-W-W | b2, b6, b7 | b2, #3 | Phrygian #3 | 也称 Phrygian Dominant | |
| 4 | WH-H-W-H-W-W-H | #2, #4 | #2, #3, #4, #6, #7 | Lydian #2 | |||
| 5 | H-W-H-W-W-H-WH | b2, b3, b4(3), b5, b6, bb7(6) | b2, b4, b5, b7 | Locrian b4 b7（Altered bb7） | 注意，起点变成了 #5 而不是 5 | ||
| 6 | 和声小调 | W-H-W-W-H-WH-H | b3, b6 | #7 | Aeolian #7 | ||
| 7 | H-W-W-H-WH-H-W | b2,b3,b5,b7 | b2, b5, #6 | Locrian #6 |
和声大调族
和声大调的排列方式循环周期是 7，衍生出以下 7 个音阶。
| 调式 | 惯用名 | 相邻音的排列方式 | Ionian | Aeolian | 变音少的调式 | 备注 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 和声大调 | W-W-H-W-H-WH-H | b6 | #3, #7 | Ionian b6 | |
| 2 | W-H-W-H-WH-H-W | b3,b5, b7 | b5, #6 | Dorian b5 | ||
| 3 | H-W-H-WH-H-W-W | b2, b3, b4(3), b6, b7 | b2, b4 | Phrygian b4 | ||
| 4 | W-H-WH-H-W-W-H | b3,#4 | #4, #6, #7 | Lydian b3 | ||
| 5 | H-WH-H-W-W-H-W | b2, b7 | b2, #3, #6 | Mixolydian b2 | ||
| 6 | WH-H-W-W-H-W-H | #2, #4, #5 | #2, #3, #4, #5, #6, #7 | Lydian #2 #5（增 Lydian #2） | 注意，起点变成了 b3 而不是 3 | |
| 7 | H-W-W-H-W-H-WH | b2,b3,b5,b6,bb7(6) | b2, b5, b7 | Locrian b7 |
这里讨论一下大调与小调。大调与小调就是为一些特殊的音阶起的名字，狭义上指自然大调、自然小调，广义上通常称开头（下四音列）是 W-W-H 的为大调、W-H-W 的为小调。
关系大小调是指大调音阶与小调音阶在同一个调式循环里的（即上面的同一族里的）。可以看到自然大小调、旋律大小调是关系的，而和声大小调不是关系的。另外，下面五声音阶、Blues 音阶也有关系的大小调。
非七音音阶
以下音阶不是七音音阶，而是六音、八音等音阶。
第一个是全音音阶，是六音音阶，循环周期为 1。该音阶的特色风格是梦幻、仙境的效果。
| 相邻音的排列方式 | C 调 | 常用的调与黑键个数 |
|---|---|---|
| W-W-W-W-W-W | 1-2-3-#4-#5-#6-1 | 都一样 |
第二个是增音阶，是六音音阶，循环周期为 2：
| 相邻音的排列方式 | C 调 | 常用的调与黑键个数 |
|---|---|---|
| WH-H-WH-H-WH-H | 1-#2-3-5-#5-7-1 | 都一样 |
| H-WH-H-WH-H-WH | 1-#1-3-4-#5-6-1 | 都一样 |
第三个是减音阶，是八音音阶，循环周期为 2：
| 相邻音的排列方式 | C 调 | 常用的调与黑键个数 |
|---|---|---|
| W-H-W-H-W-H-W-H | 1-2-b3-4-b5-b6-6-7-1 | 都一样 |
| H-W-H-W-H-W-H-W | 1-b2-b3-3-b4-5-6-b7-1 | 都一样 |
分析完备性
我们对数字 12 的拆解方式作分类。
先看只有 W, H 出现的。H 必须是偶数个：
- \(12 = 2\times 6\)：即全音音阶；
- \(12 = 2\times 5+ 1\times 2\)：H 最近间隔 2 个、1 个，即自然大调族、旋律小调族；
- \(12 = 2\times 4 + 1 \times 4\)：W 和 H 只能插空排列，即减音阶；
再看包含 WH 的。WH 和 H 的个数之和为偶数：
- \(12 = 2\times 4 + 1\times 1 + 3\times 1\)：WH 和 H 相邻，另外一边只能和 WH 相邻，不满足条件；
- \(12 = 2\times 3 + 1\times 3 + 3\times 1\)：一共 3 个 H，不能相邻，中间要用 W 和 唯一的 1个 WH 隔开。根据先用 W 还是 WH 隔开，得到和声小调、和声大调族；
- \(12 = 2\times 2 + 1\times 2 + 3\times 2\)：WH 太多了，H 太少，不可能满足 WH 与 H 不相邻的条件；
- \(12 = 1\times 3 + 3 \times 3\)：WH 和 H 只能间隔排列，即增音阶。
放宽限制
如果放宽如上的限制，可以得到更多其他的音阶，但大部分不是很实用。例如一些特殊的七音音阶。
那不勒斯小调族
放宽了 W 与 W、H 与 H 不相邻的限制：
| 调式 | 惯用名 | 相邻音的排列方式 | Ionian | Aeolian | 变音少的调式 | 备注 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | WH-H-H-W-W-W-H | #2 | #2, #3, #6, #7 | Ionian ♯2 | |||
| 2 | 终极 Locrian 音阶 | H-H-W-W-W-H-WH | b2, bb3(2), b4(3), b5, b6, bb7(6) | b2,b3(2),b4,b5,b7 | Locrian b3 b4 b7 | ||
| 3 | 那不勒斯小调 | H-W-W-W-H-WH-H | b2,b3,b6 | b2, #7 | Phrygian #7（和声 Phrygian） | ||
| 4 | W-W-W-H-WH-H-H | #4, #6 | #3, #4, ##6(7), #7 | Lydian #6 | |||
| 5 | 增 Mixolydian 音阶 | W-W-H-WH-H-H-W | #5, b7 | b3,#5, b6 | Mixolydian #5 | ||
| 6 | W-H-WH-H-H-W-W | b3, #4, b6, b7 | #4 | Aeolian #4 | |||
| 7 | 大 Locrian 音阶 | H-WH-H-H-W-W-W | b2, b5, b6, b7 | b2, #3, b5 | Locrian #3 | 也称 Locrian Dominant |
双和声大调族
放宽了两个 H 不相邻的限制：
| 调式 | 惯用名 | 相邻音的排列方式 | Ionian | Aeolian | 变音少的调式 | 备注 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | WH-H-H-WH-H-W-H | #2, #5 | Ionian #2 #5 | |||
| 2 | H-H-WH-H-W-H-WH | b2,bb3(2),b5,b6,bb7(6) | b2, b3, b5,b7 | Locrian b3 b7 | ||
| 3 | 双和声大调 | H-WH-H-W-H-WH-H | b2, b6 | b2, #3, #7 | Phrygian #3 #7（和声大 Phrygian） | |
| 4 | WH-H-W-H-WH-H-H | #2, #4, #6 | #2,#3,#4,##6(7),#7 | Lydian #2 #6 | ||
| 5 | H-W-H-WH-H-H-WH | b2,b3,b4(3),b6,bb7(6) | b2, b2,b4(3), b7 | Phrygian b4 b7 | 也称终极 Phrygian 音阶 | |
| 6 | 双和声小调 | W-H-WH-H-H-WH-H | b3,#4,b6 | #4, #7 | Aeolian #4 #7 | |
| 7 | H-WH-H-H-WH-H-W | b2, b5, b7 | b2, #3, b5, #6 | Locrian #3 #6（大 Locrian #6） |
那不勒斯大调族
放宽了 W 与 W、H 与 H 不相邻的限制：
| 调式 | 惯用名 | 相邻音的排列方式 | Ionian | Aeolian | 变音少的调式 | 备注 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 那不勒斯大调 | H-W-W-W-W-W-H | b2,b3 | b2, #6, #7 | Phrygian #6 #7（旋律 Phrygian） | ||
| 2 | Leading Whole-tone | W-W-W-W-W-H-H | #4,#5,#6 | #3, #4, #5, ##6(7),#7 | Lydian #5 #6（增 Lydian #6） | ||
| 3 | W-W-W-W-H-H-W | #4,#5,b7 | #3,#4,#5,#6 | Lydian #5 b7（增 Lydian b7），Mixolydian #4 #5（增 Mixolydian #4） | |||
| 4 | W-W-W-H-H-W-W | #4, b6, b7 | Lydian Dominant ♭6 | ||||
| 5 | W-W-H-H-W-W-W | b5,b6,b7 | #3, b5 | Locrian #2 #3 （也称大 Locrian 音阶？） | 阿拉伯音乐 | ||
| 6 | W-H-H-W-W-W-W | b3,b4(3),b5,b6,b7 | b4,b5 | Half-Diminished ♭4 (or Altered Dominant ♯2) | |||
| 7 | H-H-W-W-W-W-W | b2,bb3(2),b4(3),b5,b6,b7 | Altered Dominant bb3 |
波斯音阶族
放宽了 H 与 H、W 与 WH 不相邻的限制：
| 调式 | 惯用名 | 相邻音的排列方式 | Ionian | Aeolian | 变音少的调式 | 备注 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | WH-H-H-W-WH-H-H | #2, #6 | Ionian #2 #6 | ||||
| 2 | H-H-W-WH-H-H-WH | b2, bb3(2), b4(3), b6, bb7(6) | Ultraphrygian bb3 | ||||
| 3 | 印度陀地音阶 | H-W-WH-H-H-WH-H | b2, b3, #4, b6 | ||||
| 4 | W-WH-H-H-WH-H-H | #3(4), #4, #6 | Lydian #3 #6 | ||||
| 5 | WH-H-H-WH-H-H-W | #2, #5, b7 | Mixolydian #2 #5（增 Mixolydian #2） | ||||
| 6 | H-H-WH-H-H-W-WH | b2, bb3(2), b5, bb6(5), bb7(6) | Chromatic Hypophrygian Inverse | ||||
| 7 | 波斯音阶 | H-WH-H-H-W-WH-H | b2, b5, b6 | b2, #3, b5, #7 | Locrian #3 #7 |
其他
以下音阶族，放宽了 H 与 H、W 与 WH 不相邻的限制：
| 调式 | 惯用名 | 相邻音的排列方式 | Ionian | Aeolian | 变音少的调式 | 备注 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| H-WH-H-H-WH-W-H | 1-b2-3-4-b5-6-7-1 | |||||||
| WH-H-H-WH-W-H-H | 1-#2-3-4-#5-#6-7-1 | |||||||
| H-H-WH-W-H-H-WH | 1-b2-2(bb3)-4-5-b6-6(bb7)-1 | |||||||
| 印度坡尔维音阶 | H-WH-W-H-H-WH-H | 1-b2-3-#4-5-b6-7-1 | ||||||
| WH-W-H-H-WH-H-H | 1-#2-4(#3)-#4-5-#6-7-1 | |||||||
| W-H-H-WH-H-H-WH | 1-2-b3-#4-5-b6-6(bb7)-1 | |||||||
| H-H-WH-H-H-WH-W | 1-b2-2(bb3)-4-b5-5(bb6)-b7-1 |
以下音阶族，放宽了 H 与 H、W 与 WH、W 与 W 不相邻的限制：
| 调式 | 惯用名 | 相邻音的排列方式 | Ionian | Aeolian | 变音少的调式 | 备注 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| H-H-WH-W-W-W-H | 1-b2-2(bb3)-4-5-6-7-1 | |||||||
| 神秘音阶 | H-WH-W-W-W-H-H | 1-b2–3-#4-#5-#6-7-1 | ||||||
| WH-W-W-W-H-H-H | 1-#2-4(#3)-5(##4)-6(##5)-#6-7-1 | |||||||
| W-W-W-H-H-H-WH | 1-2-3-#4-5-b6-6(bb7)-1 | |||||||
| W-W-H-H-H-WH-W | 1-2-3-4-b5-5(bb6)-b7-1 | |||||||
| W-H-H-H-WH-W-W | 1-2-b3-3(b4)-b5-b6-b7-1 | |||||||
| H-H-H-WH-W-W-W | 1-b2-2(bb3)-b3(bb4)-b5-b6-b7-1 |
除此之外，还有大部分的六音音阶（包括 Blues 音阶、三全音音阶、普罗米修斯音阶等，详见维基百科：六音音阶），甚至八音音阶、八音以上的音阶乃至十二音的半音音阶。
五音音阶
如果继续放宽上面限制的第一条，即允许跨度更大的音程（3,4 等间隔），可以使得音阶中的音更少，例如本章要介绍的五音音阶。当然，可以像上面那种分类方式一样作完备的分类，但是组合方式是在是太多了，而且组合出来的情况多数都不常用，所以本章只挑几个常用的讲解。以下把间隔 3 记作 m（小三度），4 记作 M（大三度）。
值得一提的是，这些常用的一般可以看成上面常用的七音音阶去掉两个音，使得它的属性和对应的七音音阶很像。
经典五声调式
自然大调音阶去掉 4 音 与 7 音，得到大调五声音阶，循环周期为 5，衍生出以下 5 个音阶。这种调式是中国传统调式，中国古代叫宫、商、角、徴、羽；日本受中国影响，称这类调式为雅乐调式，包括吕调式、律调式。
| 惯用名 | 排列方式 | C 调 | A 调 | 常用的调与黑键个数 | 其他名称 |
|---|---|---|---|---|---|
| 大调五声音阶 | W-W-m-W-m | 1-2-3-5-6-1 | C 调（0个） | 宫调，(日本）吕（ryo）调式（吕旋法） | |
| W-m-W-m-W | 1-2-4-5-b7-1 | D 调（0个）：2-3-5-6-1-2 | 商调 | ||
| m-W-m-W-W | 1-b3-4-b6-b7-1 | E 调（0个）：3-5-6-1-2-3 | 角调 | ||
| W-m-W-W-m | 1-2-4-5-6-1 | G 调（0个）：5-6-1-2-3-5，C 调（0个） | 徴调，(日本）律（ritsu）调式（律旋法） | ||
| 小调五声音阶 | m-W-W-m-W | 1-3-4-5-b7-1 | 6-1-2-3-5-6 | A 调（0个） | 羽调 |
蓝调音阶
将五声调式中两个相邻的 W 中的第二个拆解成两个 H，相当于在该位置中间加了一个音（这个音就是蓝调音乐的特色音），这样五音音阶变为六音音阶，就是 蓝调音阶。
按说上面五种都可以得到对应的蓝调音阶，但是常用的只有这两种。
| 惯用名 | 排列方式 | C 调 | A 调 | 常用的调与黑键个数 | 备注 |
|---|---|---|---|---|---|
| 小调蓝调音阶 | m-W-H-H-m-W | 1-b3-4-b5-5-b7-1 | 6-1-2-b3-3-5-6 | A 调（0个） | （C 调）特色音位于 #4 (b5) 位置 |
| 大调蓝调音阶 | W-H-H-m-W-m | 1-2-b3-3-5-6-1 | C 调（0个） | （C 调）特色音位于 #2 (b3) 位置 |
蓝调音阶虽然是六声音阶，但不符合上一章的规则（W 与 WH 相邻了），而且它是由五声衍生的，所以放在这里讲。
日本调式
自然大调音阶拿掉 2 音与 5 音，得到日本的俗乐调式，循环周期为 5，衍生出以下 5 个音阶。
| 惯用名 | 排列方式 | C 调 | A 调 | 常用的调与黑键个数 |
|---|---|---|---|---|
| 平（hira）调子 | W-H-M-H-M | 1-2-b3-5-b6-1 | 6-7-1-3-4-6 | A 调（0个） |
| 岩户(iwato）调子 | H-M-H-M-W | 1-b2-4-b5-b7-1 | B 调（0个）：7-1-3-4-6-7 | |
| 阳旋法，田舍节（inaka bushi）调子 | M-H-M-W-H | 1-3-4-6-7-1 | C 调（0个） | |
| 本云井（hon kumoi）调子 | H-M-W-H-M | 1-b2-4-5-b6-1 | E 调（0个）：3-4-6-7-1-3 | |
| 阴旋法，都节（miyako bushi）调子 | M-W-H-M-H | 1-3-#4-5-7-1 | F 调（0个）：4-6-7-1-3-4 |
以上出现的“旋法”本身的意思是日本筝乐器的调音方式。
东南亚调式
自然大调音阶拿掉 2 音与 6 音，也得到一个循环周期为 5 的调式，衍生出以下 5 个音阶。这些音阶很有东南亚风味。
| 惯用名 | 排列方式 | C 调 | 常用的调与黑键个数 |
|---|---|---|---|
| (日本）琉球旋法 | M-H-W-M-H | 1-3-4-5-7-1 | C 调（0个） |
| H-W-M-H-M | 1-b2-b3-5-b6-1 | E 调（0个）：3-4-5-7-1-3 | |
| W-M-H-M-H | 1-2-#4-5-7-1 | F 调（0个）：4-5-7-1-3-4 | |
| M-H-M-H-W | 1-3-4-6-b7-1 | G 调（0个）：5-7-1-3-4-5 | |
| H-M-H-W-M | 1-b2-4-b5-b6-1 | B 调（0个）：7-1-3-4-5-7 |
其它音阶
其他音阶不在以上分类体系的就不常用了，很多都是Bebop、自由爵士中的。这里做一个列举，值得注意的单独讲解。
| 音的个数 | 惯用名 | 排列方式 | C 调 | 常用的调与黑键个数 | 备注 |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 三全音音阶（四声音阶） | m-m-m-m | 1-b3-#4-6-1 |